第3章 压力钢管加固方案分析有限元模型

3.1 有限元法非线性分析基本原理

用有限元分析非线性问题时，仍由分析线性问题的三个步骤组成，但需要反复迭代。非线性问题求解一般可分为：增量法、迭代法和混合法。非线性分析时，结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的。因此，分析的基本问题是求出当前载荷作用下的平衡状态。物体有限元离散系统的平衡方程为

式中 P_t——t时刻结点外荷载；

f_t——t时刻结点力。

由式（3.1）可见，非线性分析本质上是几何性质或材料性质与路径或时间相关的分析，因此通常用增量法求解非线性问题。

增量法求解的基本思想：假设t时刻的解已知，在t+Δt时刻，则有P_t+Δt-f_t+Δt=0。由于t时刻的解已知，故f_t+Δt=f_t+f。其中t→t+Δt时间间隔内由单元内应力增量引起的结点力增量f为

式中 K_t——t→t+Δt时间内材料和几何条件的切向刚度矩阵；

u——Δt间隔内的结点位移。

则K_tu=P_t+Δt-f_t，且算出位移增量u后即可算出t+Δt时刻的位移u_t+Δt=u_t+u。根据u_t+Δt即可算出t+Δt时刻的f_t+Δt、K_t+Δt，从而可以进行下一步迭代计算。为了保证精度，应取足够的迭代次数^［51］。