第2节典型例题讲解_少儿几何启蒙：认识图形-QQ阅读女生中文现言网

书名：少儿几何启蒙：认识图形
作者名：刘治平编著
本章字数：5760字
更新时间：2025-02-08 18:04:51

第2节　典型例题讲解

【例1】　骰子原为木制博具，也可用于一般游戏。我国宋朝程大昌（1123—1195）记述道：“骰子之制，即祖袭五木然。”唐时改用骨制作，故称“骰子”。

（1）看一看骰子上的数点是怎样排列的。

（2）下面的点群是由古希腊的毕达哥拉斯（哲学家和数学家，约前580—约前500）搞出来的，分别叫作“三角形数”和“正方形数”。

【例2】　认识数轴。

（1）如下图所示，美国人画的射线上带有箭头，他们这样画表明了什么意思？

解：箭头表示射线的方向。

（2）不知什么人想出了这种花样，在射线上画出了点，还标上了数，如下图所示。你觉得这样做有什么意思？

解：这叫“数轴”。

在射线的端点标上0作为原点，在0的右边的某一点标上1，然后以0到1之间的长度为单位，在1的右边等距离地标上2、3、4……这样规定了原点、正方向和单位长度的射线叫数轴。

其实，完整的数轴还有左边的另一半，代表负数。因此，完整的数轴又叫“数直线”。小朋友们以后会看到数轴大有用处呢！

（3）下面这条射线上的哪个点代表27这个数？

解：点T代表27。

【例3】　“点连线”。不知谁想出了下面的这种连法：在每两个点之间连接一条线段且只连接一条。

先看下面最简单的情况。

那么，你知道在5个点之间能连接出多少条线段？6个点呢？

解：注意箭头仅表示线段的起止方向。

想下去，想开去，10个点、100个点、1000个点……呢？

【例4】　下面我们研究“线交点”。有一道经典试题：两条直线相交有1个交点，3条直线相交可以有3个交点，4条直线相交可以有6个交点，5条直线相交最多可以有10个交点。11条直线相交最多能出现多少个交点？

提示：请你试着画一画，找一找，并且要动脑筋想一想，怎样画才能使交点的数量多起来呢？但不要空想、呆想，也不要只画不想，而是要边画边想，也就是要在活动中反思，要在做中学。

解：为了求出多条直线相交时交点的最多个数，我们尝试改变一下画图方式，如下图所示。

请记住弗赖登塔尔的话：“更重要的是应该引起学生的疑问，老的方法不行了，是否有新的看法（方法）？只有这样才能促进思维的发展……”

为了求出多条直线相交时交点的最多个数，对前面的数据进行分析，以期发现规律。

发现递推规律，运用它求得答案：

我们还发现了用算式表达的以下规律。

2条： 1=1

3条： 3=1+2

4条： 6=1+2+3

5条： 10=1+2+3+4

6条： 15=1+2+3+4+5

7条： 21=1+2+3+4+5+6

可见n条直线相交时出现的最多交点个数N为：

N=1+2+3+…+(n-1)

可知n=11时，有：

特别地，这里我们提出一个“线交点”的反问题（逆向思维）。[5]

[5]　物理学家陈难先（1937—）说：“提出反问题是提问题的一种重要方法……反问题研究是创造新事物的过程。”

请你在右图中的4个点1、2、3、4和另外4个点1′、2′、3′、4′之间用4条线1-1′、2-2′、3-3′、4-4′进行连接，但其中的任何两条线都不能出现交点，试试看。

解：此题的答案如右图所示。

小朋友们可以学着提出反问题，这可是一件大事！

数学家丘成桐（1949—）说：“中国人通常不太会找问题。我觉得解决问题的能力固然很重要，但是训练寻找问题的能力似乎更重要。会主动寻找问题的人才是第一流人物。训练寻找问题的能力必须从小培养起。”

【例5】　“线串点”。又有一道经典试题：右图中有9个点，请一笔画出由4条线段首尾相连而形成的折线，把这9个点都串联起来。

解：依题意要求，试着画一画，你可能会画出下面的几种不同的折线，但很快就会发现它们都不符合要求。

这时就该停下来进行总结，更确切地说，就是要对前面所做的工作进行批判性审察了。

如何审察？需要做两件事：一是重新仔细地看看题目，已知什么，要求我们做什么；二是反省自身，想想刚才做题时支配自己的不自觉的“下意识”是什么。（下意识又叫潜意识，它在“不知不觉”地支配着你做事时的行为，不审察是很难发现的。）这个批判性审察是要费时间的，很不容易。

你也可能突然就醒悟了：为什么自己总是失败呢？原因是题目本来对4条线段的“连接地点”没有限定，而你自己“下意识”（不知不觉）地总是在“点”上拐弯转向。这是你束缚自己的附加条件。试试去掉这个附加条件，结果会怎样呢？哈哈！果然成功了（见下图）！记下一条经验教训：失败时，学会批判性地审察自己所做的工作，挖出内心深处潜在的“下意识”指导思想，丢掉它的束缚，你就会成功！

下面的提问是进行“复杂化”思考！也很重要哦！

（1）如下图所示，请你一笔画出5条首尾相连的折线，把这12个点串联起来。

（2）请你一笔画出6条首尾相连的折线，把下图中的16个点串联起来。

这两道题的答案如下。

【例6】　下面学习“点共线”（又称“种树成行”）问题。

解：通过巧妙地挖坑，可使种好的树从不同的方向去看（横看、竖看或斜看）时都成行，如下图所示。

提示：在观察此题的不同画法时，体会一下发散性思维——“我就是不要与你相同”！发散性思维又叫求异思维，它不要求符合一致的“标准”，而是强调独树一帜、求异创新、与人不同。它是创造性思维的非常重要的一个方面。

请思考下面的几个问题。

（1）现有10棵树，你能否用一种巧妙的方法将它们种成5行、10行或12行？

（2）有人把12棵树种成了6行，每行4棵，请你也试一试。

（3）有人把16棵树种成了10行和15行，每行4棵，请你也试一试。

（4）有人把21棵树种成了11行和12行，每行5棵；又种成了14行，每行4棵。请你也试一试。

（5）有人把22棵树种成了21行，每行4棵，请你也试一试。

解：请看下面的解答。

（1）10棵树。

（2）12棵树。

（3）16棵树。

（4）21棵树。

（5）22棵树。

观察下面的图形，进一步思考。

【例7】　下图中的每一条线段代表一根小棍，请你看看小棍的摆法有什么讲究。

解：（1）1根小棍的摆法有2种：横、竖。

（2）2根小棍的摆法有4种：横横、横竖、竖横、竖竖。

（3）3根小棍的摆法有8种：横横横、横横竖、横竖横、竖横横、横竖竖、竖横竖、竖竖横、竖竖竖。

（4）4根小棍有16种不同摆法。

①采用枚举法，画出每种具体摆法。

1+4+6+4+1=16（种）

②整理数据，发现递推规律，继而能直接写出更多小棍的摆法数量。

每增加1根小棍，摆法数量增加1倍，也可以写成如下形式：

n+1根小棍的摆法数量=n根小棍的摆法数量×2

③再进一步思考，可以发现n根小棍的摆法数量N就等于n个2的连乘积，即：

④我们将来还会学到n根小棍的摆法数量N可用下式计算：

当n=4时，有：

计算结果与枚举法相同。

回顾与反思：小朋友，数学好玩！这道题竟有4种不同的解法，后来的算法更简单，力量更大。学会了它们，就能计算更大的数，本领就更大了！你不妨再算一算10根小棍的摆法数量。

【附】小朋友们知道抗日战争时期“消息树”的故事吗？

在影片《鸡毛信》中，某地抗战村民在日本鬼子的炮楼附近的小山头上竖起了两棵小树，一名小英雄负责监视和报告敌人的动向。他们有以下约定。

（1）若两棵小树都倒了，则表示日本鬼子和伪军都来了，大家要做好准备。

（2）若只有左边的小树倒下了，则表示伪军来了。

（3）若只有右边的小树倒下了，则表示日本鬼子来了。

（4）若两棵小树都立着，则表他们都没有出来，平安无事!

【例8】　垂直相交是两条直线相交的一种特殊情况。观察下图，回答以下问题。

（1）两条直线垂直相交时形成个直角。

（2）“田”字图中有个直角。

（3）“曲”字图中有个直角。

解：（1）两条直线垂直相交时，人们相信会形成4个直角，如下图所示。

（2）“田”字图中有16个直角，如下图所示。

（3）“曲”字图中有28个直角，如下图所示。

进一步观察和思考，以下汉字中分别有多少个直角？好好数一数！

【例9】　在心中想着锐角、直角和钝角的样子（“概念意象”），你能在自己周围的环境中找到这样的角吗？

解：剪刀张开时可以出现锐角！还有……

门窗、书本上都有好多直角！

钟面上的两根指针可以形成钝角！

【例10】　“在纸上画两条直线，二者要么相交，要么平行”就好比说“在人群中找出两个人，二人的性别要么相同，要么不同”，对不对？

如果不说“在纸（平面）上画”这几个字，而说“空间中的两条直线既不相交也不平行”，这有可能吗？用两只手在空中比画一下，或在现实生活中找一找。右边的图形叫作“三棱柱”，它的上面有“既不相交也不平行”的两条棱吗？再想想立交桥！[6]

[6]　“老师，有没有两条直线既不相交也不平行的情况？”记得有一次一位小朋友这样问我，我高兴地、大大地表扬了他敢“质疑”的精神和做法，而且因此讲了上面这段话。

解：“空间”中（非平面上）的两条直线可以出现既不相交也不平行的情况，如立交桥便是!

右图表示直线a在平面内，而直线b斜穿该平面，这两条直线既不相交也不平行，数学家给它俩起名叫作“异面直线”。三棱柱上有这样的两条棱。

【例11】　在纸上画出3条直线，可能会出现以下4种不同的情况，你能把它们都画出来吗？

（1）3条直线“没有”交点，或者说“有0个”交点。

（2）3条直线相交于同一点。

（3）3条直线有两个交点。

（4）3条直线有3个交点。

你有画3条直线产生4个交点的本事吗？

解：在纸上画3条直线时出现的4种情况如下图所示。

画不出4个交点就对了。按规则办就有限制，就有办不成的事！（直线要画“直”！）

【例12】　如果规定每两个人要握一次手且只握一次手，那么你一定很容易知道：3个人共握手3次。再往下想一想，4个人、5个人呢？

提示：解此题有几种思路，一是依题意组织小朋友们做握手活动实验；二是采用画图法，即用一个点“•”代表一个人，画一条线段把两个点连起来代表两个人握一次手；三是采用计算法，先按人头统计每个人握手的次数，然后依题意对数据进行处理。

解：（1）画图法。通过画图可知，4个人握手6次，5个人握手10次，如下图所示。

（2）计算法。比如，计算4个人握手的次数时，具体思路如下。

①每个人都要和其他3个人各握手一次，一共要握手3次。

②4个人总共握手12次，即3×4=12。

③前面我们把每两个人握手都算了2次，故实际握手次数为6次，即3×4÷2=6。

同理，5个人握手10次，即5×4÷2=10。

【例13】　请你画出一幅由8个点以及连接它们的若干条线段组成的图形，使得其中每个点恰好引出4条线段，且任意两条线段不在内部相交。右图给出了一幅包含6个点的、符合上述要求的图形，供你参考。

解：这里所说的“两条线段不在内部相交”指的是它们的交点为线段的端点，而不是线段上的其他点。

类似地，对于8个点，可画出符合要求的图形，如右图所示。

请想一想：10个点的情况又怎样呢？

【例14】　下图中的每个小实线正方形连同其内的点线分别表示一个数字，每行的3个小实线正方形都表示一个三位数，它们是791、125、612、275、362。请按图中标注的顺序把它们排好。

解：首先看到4个三位数中612、362、275、125中都有数字2，而4个小正方形中都有图形，因此我们知道这个图形就是2。

这样，可知第四层图形代表275，因为这一层最左端的图形是。由此可知代表7，所以第三层图形代表791。

接下来可知代表1，第二层图形代表125。因此，第一层图形代表612，第五层图形代表362。

提示：解此题的“关键一招”可称为“从找共同点开始”，这种方法能用来解其他类似的题目吗？

【例15】　有人用三个点和一条线段或两个点和两条线段组成的密码表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，例如7的密码是“”。

有一次，别人得知他用密码发出了不大于9的自然数的平方数并抄录下来，如下图所示。请你破译这组密码，并用密码写出2014。（注意，每行最左边的①、②……是行号，密码左边是十位数字，右边是个位数字。）

解：首先考察数字。我们知道，1～9这9个数的平方数依次为01、04、09、16、25、36、49、64、81，其中两个数的个位上出现1，两个数的个位上出现4，两个数的个位上出现9，两个数的个位上出现6，一个数的个位上出现5，三个数的十位上出现0，但十位上没有出现5、7、9。同时，1～9这9个数的平方数各不相同。上图中②、③、⑦这三行左边的符号相同，我们可知“”代表0。

然后，易知④行右边的符号“”代表5（因为这组符号只出现过一次），进而得知“”代表2。

01、04、09中的数字1、4也出现在其他平方数的左边，而数字9没有出现在平方数的左边，而②行右边的符号“”没在其他行的左边出现，所以我们可知“”代表9，即②行为09。于是，可知⑥行为49，故“”代表4。这时，可知⑦行为04，③行是01，且“”代表1，于是可知①行是16，进而得知“”代表6。因此，⑧行是81，从而可知“”代表8，⑤行是64，⑨行是36，且“”代表3。